Démonstration du théorème de Thalès

Grand Exercice de niveau 3/5

Ce problème sera noté sur 20 points. On apportera un soin particulier à la qualité de la rédaction. Tout résultat énoncé devra être démontré.
Cet exercice peut se résoudre en 1 heure pour le niveau 4ème. Encore une fois il faut bien prendre le temps de rédiger correctement en français intelligible les démonstrations.

On s’attachera à dessiner la figure avec soin et en utilisant les couleurs pour différencier des figures qui seront utilisées judicieusement dans la démonstration.

Barème de notation:

Le dessin sera noté sur 5 points

Le raisonnement sur 10 points

La rédaction sur 5 points.

Introduction:

Le théorème de Thalès n'a pas vraiment été trouvé par Thalès de Millet car on ne connait rien de sa biographie ni même de son existence.
D'ailleurs dans les pays anglos-saxons, on l'appelle "Intercept Theorem" soit "Théorème d'interception" qui est plus juste comme appelation.

Chaque arpenteur ou géomètre trouvait des « astuces » pour mesurer les distances, surfaces, etc. Il y a une idée très astucieuse pour mesurer des hauteurs en utilisant l’ombre à l’heure où « l’ombre est égale à l’objet » ; c’est-à-dire à l’heure où les rayons se projettent à 45°. Pour mesurer la grande pyramide on affina la méthode en utilisant les rayons du soleil à une heure quelconque.

L’utilisation des rayons de soleil fit étudier les droites parallèles et les rapports entre les longueurs projetées et les longueurs initiales. 

Enoncé:

1.      Tracer un triangle quelconque ABC (on prendra soin de vérifier que le triangle n’est pas particulier : ni isocèle, ni équilatéral, ni rectangle, etc…).

2.      Tracer une droite parallèle à (BC) qui coupe le triangle ABC en E (intersection de (AB)  avec la droite) et F (intersection de (AC) avec la droite). Cette droite est tracée de manière quelconque et surtout pas au milieu de [AB] ou [AC]

3.      Tracer (EC) et (FB) qui se coupent en 0

4.      Tracer la hauteur issue de E du triangle EFB dont la longueur sera notée h

5.      Tracer la hauteur issue de F du triangle EFC dont la longueur sera notée h’

6.      Tracer la hauteur issue de A du triangle ABC. Cette hauteur coupe (EF) en S et (BC) en T

Questions :

1.      Démontrer que les triangles EBC et FBC ont des aires égales

2.      Première partie :

a.       Exprimer la hauteur issue de F du triangle AEF en fonction de h et h’

b.      Calculer l’aire du triangle EFB qu’on appelle Aire(EFB) en fonction de h, h’ et EB

c.       Calculer l’aire du triangle AEF qu’on appelle Aire(AEF) en fonction de h, h’ et AE

d.      En déduire le rapport : Aire(EFB) / Aire(AEF)

3.      Deuxième partie :

a.       Exprimer la hauteur issue de E du triangle AEF en fonction de h et h’

b.      Calculer l’aire du triangle EFC qu’on appelle Aire(EFC) en fonction de h, h’ et FC

c.       En déduire le rapport : Aire(EFC) / Aire(AEF)

4.      Démontrer que Aire(EFB) / Aire(AEF) = Aire(EFC) / Aire(AEF)

5.      Démontrer que AE / AC = AF / FB

6.      En déduire que AC/ AE = AB / AF

7.      Troisième partie :

a.       Montrer que (AS) est perpendiculaire à (EF)

b.      Montrer que (AT) est perpendiculaire à (BC)

c.       Montrer que Aire(STC) = Aire (FTC)

d.      Montrer que les triangles ATF et ASC ont les mêmes aires. On pourra judicieusement remarquer que Aire(ATC) = Aire(AFT) + Aire(FTC) et  Aire(ATC) = Aire(ASC) + Aire(STC)

e.       calculer les aires des triangles ATF et ASC que l’on note Aire(ATF) et Aire(ASC) en les exprimant en fonction des longueurs de chaque côté du triangle

f.       Montrer que AS/AT = SF/TC

g.      Comparer les rapports AS/AT et AF/AC

h.      Comparer les rapports AF/AC et SF/TC

i.        Que peut-on en déduire ?

j.        Refaire le même raisonnement de a) à i) dans le triangle ATB

8.      Conclusion :

a.       En déduire le théorème de Thalès.

9.      Question subsidiaire : Démontrer que les triangles EOB et FOC ont des aires égales