Fiches pratiques de Géométrie plane

Quelques Rappels:

un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.

Un quadrilatère est un polygône qui a 4 côtés. 
Voici une autre définition: un quadrilatère est une figure plane constituée de quatre points (appelés sommets) et de quatre segments (ou côtés) liant ces sommets deux à deux de manière à délimiter un contour fermé.

Une droite désigne une ligne rectiligne, infinie et sans épaisseur.

Un segment est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment.

Une médiatrice d'un segment : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

Une médiane: dans un triangle, une droite joignant un des sommets du triangle au milieu du côté opposé.

Une bissectrice d'un angle: une demi-droite qui coupe un angle en deux parties égales.

Sur les angles, il faut au moins savoir:

Un angle plat fait 180 degrés.

Un angle droit fait 90 degrés. 

La somme des angles supplémentaires fait 180 degrés.

La somme des angles complémentaires fait 90 degrés.

Il faut au moins savoir les propriétés des droites parallèles: 

• Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors ces droites forment des angles alternes-internes de même mesure.
• Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants sont de même mesure

• Réciproquement, si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Example:

Sur la figure suivante, les droites (a) et (b) sont parallèles, (s) est une sécante quelconque.

Alors alpha  et beta  sont des angles alternes-internes et égaux.

Sur la figure suivante, les droites (d1) et (d2) sont parallèles, (d) est une sécante quelconque.

Alors a1  et b1  sont des angles correspondants et égaux.

Géométrie Plane: 

Pour la figure Parallélogramme:

• définition: quadrilatère ayant ses deux côtés parallèles deux à deux.

• propriété 1:

Pour la figure Trapèze:

• Définition:
• Un trapèze est un quadrilatère, possédant deux côtés opposés parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés bases.
• Aire: 
• moyenne des bases * hauteur

Pour la figure Losange:

• Définition:
• Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur

• Propriétés:
• un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre sommets distincts ;
• un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu (autrement dit : c'est un parallélogramme) et qui sont perpendiculaires.
• Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles.

• Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.

• Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales.

• Aire 
• Aire du losange= (d*D)/2 où d représente la longueur de la petite diagonale et D représente la longueur de la grande diagonale du losange.

Pour la figure Rectangle:

•  Définition: 
• un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.
• Propriétés:
• un rectangle est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs perpendiculaires (autrement dit : il possède un angle droit).
  un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
• Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles et de même longueur.
• Ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
• Le rectangle possède deux axes de symétrie, qui sont les médiatrices de ses côtés. Il possède également un centre de symétrie, l'intersection de ses diagonales.
• Les diagonales étant de même longueur et sécantes en leur milieu O, les quatre sommets du rectangle sont équidistants de O, ce qui signifie qu'il existe un cercle de centre O passant par ces quatre sommets, appelé cercle circonscrit au rectangle, qui est lui-même dit inscrit dans ce cercle.

• Aire 
• Aire du rectangle: Longueur * largeur

Pour la figure Carré:

•  Définition: 
• Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. 
• Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur qui se coupent en leur milieu est un carré.

• Un losange qui a ses diagonales de même longueur est un carré.

• Un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires qui sont de même longueur est un carré.

• Un rectangle qui a ses diagonales perpendiculaires est un carré.

• Propriétés:
• Le carré a ses diagonales de même longueur, qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires.

• Le carré a ses côtés opposés 2 à 2 parallèles.

• Le carré est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles.

• Le carré est un rectangle car il a 4 angles droits.

• Le carré est un losange car il a ses 4 côtés égaux.

• Aire 
• Aire du rectangle: Longueur * Longueur = Longueur^2

Pour la figure Cercle:

•  Définition: 
• Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle

• Propriétés:
• Le centre d'un cercle est le milieu de tous ses diamètres. On peut alors appliquer les mêmes propriétés que pour le milieu d'un segment.
• Deux points situés sur un même cercle sont situés à égale distance du centre de ce cercle.
• Si la droite T est tangente du cercle en un point F, alors (T) est perpendiculaire au rayon OF (ou diamètre EF)
• Et la propriété inverse : Si une droite est perpendiculaire à un rayon du cercle en un point du cercle, alors cette droite est appelée tangente de ce cercle.

• Aire 
• Aire du rectangle: Pi * Rayon^2

Pour la figure Triangle:

•  Définition générale: 
• En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points appelés sommets, par les trois segments qui les relient, appelés côtés, délimitant un domaine du plan appelé intérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un angle intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ».

• Propriétés générales:
• Inégalités triangulaires: 
• BC <= BA + AC
• AB <= AC + CB
• AC <= AB + BC
• La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat, autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° (degrés) c'est-à-dire Pi radians.

• Aire 
• Aire du rectangle: (Base * Hauteur) /2

• Droites particulières et points particuliers dans un triangle quelconque:

• Médianes et centre de gravité
• Dans un triangle quelconque, une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Chaque médiane divise un triangle en deux triangles d'aires égales.
• Si le triangle est non plat, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité. Ce point, souvent noté G et situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet, est à la fois l'isobarycentre des trois sommets et le centre de masse de l'intérieur du triangle.
• Les trois médianes concourantes divisent le triangle en six triangles de même aire.

• Médiatrices et centre du cercle circonscrit
• Si le triangle est non plat, les trois médiatrices des côtés (les droites coupant les côtés à angle droit en leur milieu) sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit, car il est le seul équidistant des trois sommets, c'est-à-dire qu'il est le centre du seul cercle passant par les trois sommets. Ce centre est souvent noté O ou  (« oméga »).
• Un triangle est rectangle si et seulement si son centre du cercle circonscrit est le milieu de l'un de ses côtés (qui est alors son hypoténuse).

• Hauteurs et orthocentre
• Si les trois sommets sont distincts, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Si le triangle est non plat, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre, souvent noté H.
• Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est l'un des sommets (en lequel se trouve alors l'angle droit). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.
• Les trois médiatrices d'un triangle sont les trois hauteurs de son triangle médian et par conséquent, le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'orthocentre du triangle médian.

• Bissectrices et cercle inscrit
• Si le triangle est non plat, les trois bissectrices de ses angles (les demi-droites qui partagent les angles en deux angles de même mesure) sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit, car il est le centre du seul cercle tangent aux trois côtés. Ce centre est en général noté I ou J.
• Chaque bissectrice divise le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont reliées à celles des côtés de l'angle grâce à la loi des sinus.
• Le rayon du cercle inscrit est le quotient de l'aire du triangle par son demi-périmètre.

On distingue trois triangles particuliers : isocèle, équilatéral rectangle

Triangle isocèle:

•  Définition: 
• Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles adjacents au troisième côté sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. Les triangles isocèles sont les seuls à admettre un axe de symétrie en dehors des triangles plats. 

Triangle équilatéral:

•  Définition: 
• Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.

Triangle rectangle:

•  Définition: 
• Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit, c'est-à-dire de mesure 90°. Il satisfait alors le théorème de Pythagore. 

NB: Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il ne peut y avoir plus d'un angle obtus (supérieur à l'angle droit). S'il y en a un, le triangle est obtusangle ou ambligone. S'il n'y en a pas, il est acutangle ou oxygone (il a alors trois angles aigus).

NB: 

Un triangle qui n'est ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral) ni plat est dit scalène (du grec σκαληνός (skalenos) : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique...) Il s'agit donc d'un triangle ayant trois côtés de longueurs différentes, trois angles de mesures différentes et aucun axe de symétrie.

Géométrie dans l'espace: 

Pour la figure Parallélépipède:

Pour la figure Tétraèdre:

Pour la figure Sphère:

Pour la figure Pyramide:



Pour la figure Cylindre:



Pour la figure Cône:

Quadrilatères
┌─────────────┼─────────────┐
concave		convexe		croisé
┌─────────────┼─────────────┐
à cercle circonscrit		trapèze		tangentiel
| ┌───────────┤				|
trapèze isocèle diagonales égales		parallélogramme centre de symétrie		cerf-volant diagonales perpendiculaires
└─────┬─────┘			└─────┬─────┘
rectangle angles droits			losange côtés égaux
└──────────┬─────────┘